Unidad 4 Comparación de grupos y asociación
4.1 Análisis de datos categóricos (tablas de contingencia)
Esta sección no se enseñará este semestre.
4.2 ANOVA
El análisis de la varianza, o más brevemente, ANOVA, se refiere en general a un conjunto de situaciones experimentales y procedimientos estadísticos para el análisis de respuestas cuantitativas de unidades experimentales. El problema ANOVA más simple se conoce indistintamente como unifactorial, de clasificación única o ANOVA unidireccional e implica el análisis de datos muestreados de más de dos poblaciones (distribuciones) numéricas o de datos de experimentos en los cuales se utilizaron más de dos tratamientos. La característica que diferencia los tratamientos o poblaciones una de otra se llama factor en estudio y los distintos tratamientos o poblaciones se conocen como niveles del factor. Ejemplos de tales situaciones incluyen los siguientes:
- Un experimento para estudiar los efectos de cinco marcas diferentes de gasolina con respecto a la eficiencia de operación de un motor automotriz (mpg).
- Un experimento para estudiar los efectos de la presencia de cuatro soluciones azucaradas diferentes (glucosa, sucrosa, fructosa y una mezcla de las tres) en cuanto a crecimiento de bacterias.
4.2.1 ANOVA de un factor
El ANOVA unifactorial se enfoca en la comparación de más de dos medias de población o tratamiento. Sean
\[ J = \text{el número de poblaciones o tratamientos que se están comparando.} \]
\[\begin{equation} \notag \begin{matrix} \mu_1 = \text{la media de la población } 1.\\ \vdots \\ \mu_j = \text{la media de la población } j . \end{matrix} \end{equation}\]Las hipótesis pertinentes son
\[\begin{equation} \notag \begin{split} H_0&: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_j\\ H_1&: \text{por lo menos dos de las } \mu_j \text{ son diferentes.} \end{split} \end{equation}\]Si los tratamientos (“poblaciones”) no tienen efecto, se espera que los promedios sean iguales (\(H_0\)). El análisis de los resultados consiste básicamente en la descomposición de las observaciones en contribuciones de diferentes fuentes, es decir, se puede desglosar de la siguiente forma:
\[ SCT = SCTr + SCE, \] donde, cada elemento se define de la siguiente manera:
- SCT (suma de cuadrados totales): varianza total a explicar.
- SCTr (suma de cuadrados de los tratamientos): suma de las varianzas de cada tratamiento (\(j\)) respecto al promedio general.
- SCE (suma de cuadrados de los errores o residual): suma de las varianza de cada tratamiento.
La siguiente tabla resume la descomposición de la suma de cuadrados anterior:
| Fuente | gl | SC | CM |
|---|---|---|---|
| Tratamientos | \(k - 1\) | \(\displaystyle\sum_{j=1}^k n_j (\bar{y}_{j} - \bar{y})^2\) | \(CMTr = \displaystyle\frac{SCTr}{k-1}\) |
| Error | \(n - k\) | \(\displaystyle\sum_{j=1}^k \displaystyle\sum_{i=1}^{n_j} (y_{ij} - \bar{y}_{j})^2\) | \(CME = \displaystyle\frac{SCE}{n-k}\) |
| Total | \(n - 1\) | \(\displaystyle\sum_{j=1}^k \displaystyle\sum_{i=1}^{n_j} (y_{ij} - \bar{y})^2\) |
donde, \(j\) es el tratamiento e \(i\) la observación en cada tratamiento. Y, \(CM\) es cuadrado de la media de tratamiento (\(CMTr\)) y error respectivamente (\(CME\)).
El estadístico de prueba correspondiente es:
\[ F_0 = CMTr/CME, \]
y se rechaza la hipótesis nula cuando \(F_0 \geq F_{1-\alpha, k-1,n-k}\), donde \(n = \sum n_j\).
Ejemplo 4.1 En un intento por mejorar la calidad de las cintas de grabación, se les aplica diferentes tinturas a los tipos de dispositivos, 22. Se desea saber si los niveles de distorsión son diferentes o no según el color de la cinta.
Distorsión de sonido obtenido con 4 tipos de tinturas,
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 10 | 14 | 17 | 12 |
| 15 | 18 | 16 | 15 |
| 8 | 21 | 14 | 17 |
| 12 | 15 | 15 | 15 |
| 15 | 17 | 16 | |
| 15 | 15 | ||
| 18 |
Calculando la tabla ANOVA en R:
datos = data.frame(
Tipo = rep(c("A","B","C","D"), c(5,4,7,6)),
Fallos = c(10,15,8,12,15,14,18,21,15,17,16,14,15,17,15,18,12,15,17,15,16,15)
)
anova = aov(datos$Fallos ~ datos$Tipo)
summary(anova)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## datos$Tipo 3 68 22.667 4.34 0.0181 *
## Residuals 18 94 5.222
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1El valor-p de 0.0181 es menor o igual a la significancia de 0.05, por lo cual, existe suficiente evidencia estadística para rechazarla hipótesis nula, es decir, se asume que existe efecto del tratamiento con una confianza del 95%.
Verificando el valor crítico,
## [1] 3.159908se obtiene la misma conclusión antes dada.
Ejercicio 4.1 Se analizaron seis muestras de cada uno de cuatro tipos de crecimiento de granos de cereal en una región para determinar el contenido de tiamina y se obtuvieron los siguientes resultados (\(\mu g/g\)):
| Grano | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Trigo | 5.2 | 4.5 | 6.0 | 6.1 | 6.7 | 5.8 |
| Cebada | 6.5 | 8.0 | 6.1 | 7.5 | 5.9 | 5.6 |
| Maíz | 5.8 | 4.7 | 6.4 | 4.9 | 6.0 | 5.2 |
| Avena | 8.3 | 6.1 | 7.8 | 7.0 | 5.5 | 7.2 |
¿Sugieren estos datos que por lo menos dos de los granos difieren con respecto al contenido de tiamina promedio verdadero? Use un nivel \(\alpha = 0.05\) con base en el método del valor-p y del valor crítico.